足球比赛偶数进球几率？
假设一场比赛上下半场各25分钟，共50分钟，每队进一球的概率为： P（进球）=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2})^{50} = \frac{1}{2^{\text{n}} } 其中 n=1时，有25%的概率进球；当n=10时，有75%的概率进球 当n=100时，P(n) 接近于1，也就是说98%的机会进球 当n=1000时，P(n) 就几乎等于1了。所以，如果两队50次对踢，每次进一球，总共就可以进50球。 但是实际比赛中，一个赛季一场比赛双方九十分钟不停球，概率上来讲是基本上不可能出现这种情况的——就算两回合总共4个进球，也是不现实的。因为足球比赛存在很多随机性因素，比如一个球队可能在场上拥有50%的控球率，却连一脚射门都没有，或者一次进攻仅仅踢出一脚传中。这样的例子在比赛当中比比皆是，这也就意味着最终进球个数是不确定的。
但是我们可以通过数学模型的方式来计算出可能出现的最佳情况、最差情况以及大概率情况下的总进球数。 我这里用到的模型是马尔科维茨模型（Markov Chain Modeling），这是一种基于数据的建模方法，它可以通过以往的数据来预测未来事件发生的可能性。我过去写过一篇相关的文章介绍这种方法如何在掷硬币游戏当中应用的，这里就不详细阐述了。
使用马尔科夫链进行建模需要几个步骤：
1.建立状态空间 在本文的例子中，状态空间可以表示为 {\cal S} = \{0，1，\cdots ，n\} 其中各个状态代表的含义是在这场足球比赛当中双方一共打进了 n 个球（ 0 代表双方没有进球， 1 代表一方进球，依此类推）。显然，这个状态空间是一个离散型的状态空间，因为球门的次数只能是整数。
2.设定初始条件 对于一场具体的足球比赛而言，我们难以获得完整的信息并据此精确地设定每个状态的初始概率。我在这里设定的初始条件是这样的：对于任意一场比赛，无论其长短，双方一共打进两个球的概率为 \frac{1}{2} ，双方不进球的概率为 \frac{1}{2^{\text {n}}} 显然，这一设置是基于贝叶斯原理的：它保证了在新数据加入的情况下，旧数据对于事件发生的概率的加成效果不会发生变化。
3.计算转移概率 设 p_{ij} 是发生在从状态 i 到状态 j 的转移概率，它的计算根据如下： 如果一场比赛双方总共打进 0 个或 1 个球，那么 p_{0j} =p_{1j} = 1，否则如果打了 2 个及以上的球， p_{jj} = 0 ， p_{ji} = (1- p_j)\cdot p_i 其中 p_i 和 p_j 分别是指双方在状态 i 和 j 下出现的概率。上述公式表明：如果发生从一个状态到另一个状态的转移，那么它就必然以极小概率发生在最初的状态之下。因此只要反复迭代计算，就可以得到各个状态发生的概率。
4.修正与优化 由于初始条件的设定很难达到完美，因此需要不断地修正参数 直到满足以下条件： 在我过去的实例当中，往往只需要进行两次迭代就可以达到非常逼近的结果，这里可能是我设定的初始条件的缘故。
经过上面的过程，我们就可以通过计算得出各种情况下进球数的期望值。当然，在实际的比赛中情况要更为复杂，比如在比赛末段由于时间不足，双方都可能放弃进球，这时进球数会偏乐观，而如果出现重大失误，导致对方攻入一球，则进球数会偏悲观。不过通过建模的方法可以比较接近地反映实际情况。